У нас вы можете скачать книгу Инженерная графика А. М. Бродский, Э. М. Фазлулин, В. А. Халдинов в fb2, txt, PDF, EPUB, doc, rtf, jar, djvu, lrf!

Пусть даны фронтальные и профильные проекции прямых АВ и CD. Одноименные проекции этих прямых пересекаются, и точки их пересечения лежат на одной линии связи. Соответственно на чертеже должны присутствовать проекции этих геометрических образов.

Положение плоскости относительно плоскостей проекций По положению относительно плоскостей проекций различают плоскости общего и частного положения. Плоскости, перпендикулярные к одной или двум плоскостям проекций, называют плоскостями частного положения. Но любая из осей проекций перпендикулярна к третьей плоскости проекций. Следовательно, плоскость, перпендикулярная к двум плоскостям проекций, будет параллельна третьей плоскости проекций.

Прямая DE является прямой общего положения, а плоскость ЛВС судя по ее фронтальной проекции фронтально-проецирующая. Если обратиться к фронтальной проекции прямой и плоскости, то можно убедиться, что выше плоскости ABC располагается луч ME, а луч MD находится ниже заданной плоскости. Изображение на чертеже проекций многогранника есть, по существу, изображение проекций вершин точек , ребер прямых и граней плоскостей.

ЛГзадана , используют признак принадлежности точки плоскости. Призма Под призмами понимают многогранники, основания которых представляют собой равные многоугольники, а боковые грани — параллелограммы. Пусть заданы горизонтальная и фронтальная проекции прямой треугольной призмы рис. Развертка боковой поверхности Развертка — это изображение поверхностей, совмещенных с плоскостью чертежа. При этом ребро А будет повторяться на развертке дважды. Рассмотрим более сложный пример.

Размер ребер, перпендикулярных к горизонтальной плоскости проекций, равен высоте призмы и без искажения проецируется на фронтальную плоскость проекций. Точки Аю и В1 находятся на проекциях соответствующих ребер. Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, а высота пирамиды проходит через его центр, то такую пирамиду называют правильной.

Начиная изображение развертки рис. Стороны основания ABC см. Найденная точка В0 см. Если в плоскости SAC см. Рассмотрим еще один пример. Требуется достроить горизонтальную и профильную проекции пирамиды. Горизонтальная плоскость пересекает грани пирамиды по прямым, параллельным сторонам основания. Эти прямые ограничены концами фронтально-проецируюшего отрезка EF.

Профильная и наклонная плоскости пересекаются по фронтальнопроецирующему отрезку GH. Располагая фронтальной и горизонтальной проекциями любой точки пирамиды, можно построить профильную проекцию пирамиды.

Пусть заданы проекции пирамиды SABC рис. Грани призматического отверстия перпендикулярны к фронтальной плоскости проекций. Требуется построить проекции линии пересечения пирамиды и призмы. Ребра призмы перпендикулярны к фронтальной плоскости проекций, поэтому точка 1" является фронтальной проекцией точки пересечения ребра с гранью SAB пирамиды, а невидимая точка 1" — проекцией точки пересечения ребра с гранью SAC.

Построив недостаю щ и е п роекции обозначенны х точек, найдем проекции линии взаи м н ого пересечения призмы и пирамиды. Р е б р о SB пересекает грань призмы в точке 4, которая, как и точка 2, располагается на профильной прямой.

Например, учитывая принадлежность точки 4 грани SBC, можно через нее провести горизонтальную прямую, принадлежащую этой грани. Фронтальная проекция 4"8" такой прямой очевидна. Рассматривая цилиндр как тело, следует ограничить его объем кругами верхнего и нижнего оснований. При пересечении цилиндрической поверхности плоскостями, перпендикулярными оси, в сечении получаются окружности.

Выясним, как выглядят эти сечения на чертеже. Плоскость, параллельная оси 0jO2 поверхности, пересекает цилиндрическую поверхность по образующим 12 и Конус Конус вращения или прямой круговой конус представляет собой развертываемую поверхность, которая получается при вращении прямой линии вокруг оси и пересекающей эту ось в одной и той же точке.

Например, плоскость, параллельная левой очерковой образующей конуса, пересекает его по параболе А А. Пусть задана фронтальная проекция М "точки М см. Если через точку М провести образующую, то ее фронтальная проекция будет выглядеть как прямая S"M". Выбор линии окружности или образующей для построения недостающей проекции точки, лежащей на конусе, определяется исключительно практическими соображениями: Пусть задан прямой круговой конус рис.

Плоскость пересекает все образующие конуса, поэтому линия пересечения будет представлять собой эллипс. Для построения проекций точек используются образующие S Развертка конической поверхности рис. S12 и отложить на них в натуральном виде отрезки 4, SB, SE и т.

Это позволяет отложить на соответствующих образующих см. Отрезки остальных образующих проецируются с искажениями и для использования их при построении развертки необходимо определить предварительно натуральные размеры этих отрезков. Положение точки С1 на рис. Пусть задана фронтальная проекция конуса рис. Остается достроить недостающие проекции конуса, руководствуясь принадлежностью искомых линий и образующих их точек конической поверхности.

Осью поверхности может служить любая прямая, проходящ ая через центр сферы. Наибольшая из параллелей называется экватором. Окружности сферы, проходящие через ось вращения, именуют меридианами.

Все проекции сферы представляют собой окружности, диаметры которых равны диаметру сферы. Пусть задана фронтальная проекция сферы рис. На фронтальную и профильную плоскости проекций эта окружность проецируется в виде отрезков, а на горизонтальную — без искажения. Наклонная плоскость пересекает сферу по окружности, центром Р которой служит основание перпендикуляра, опушенного из центра О сферы на плоскость рассматриваемой окружности.

Рассмотрим общий способ определения линии пересечения двух поверхностей на некотором отвлеченном примере. Пусть заданы поверхности П1 и П2 рис. При построении линии пересечения сложных кривых поверхностей приходится находить значительное число точек.

Из этого следует, что линия пересечения заданных поверхностей также должна быть симметрична относительно указанной плоскости, а фронтальные проекции симметричных друг другу участков линии пересечения должны совпадать. Заметим также, что поверхности сферы и конуса относительно плоскости т2 видны лишь до плоскости симметрии;.

Эти точки располагаются в плоскости симметрии пересекающихся поверхностей. Соосными называют поверхности вращения, имеющие общую ось вращения. Соосные поверхности пересекаются по окружностям, плоскости которых перпендикулярны к оси вращения. Эти поверхности имеют общую ось вращения, параллельную фронтальной плоскости проекций. Здесь рассматривается лишь один из приемов использования сфер — это способ, при котором вспомогательные сферы имеют общий центр.

Найдем линии, по которым вспомогательная поверхность пересекает каждую из заданных поверхностей. При пересечении окружностей т 2 и пх получают еще две точки, общие для цилиндра и конуса. Очерковые образующ ие конуса и цилиндра лежат в общей плоскости симметрии и потому пересекаются.

В рассматриваемой задаче — это расстояние от точки О до точки 3. В данном случае это сфера с радиусом flmin, вписанная в конус. Причина этого недостатка достаточно ясна: Осуществим прямоугольное проецирование системы координатных осей на плоскость. Рассмотрим изометрическую проекцию, регламентируемую ГОСТ 2. Изометрические проекции этих осей рис. Если, используя приведенную ранее зависимость, вычислить дей ствительны коэффициенты искажения, их значения окажутся е равными 0, Это неудобно, так как значительно увеличивает трудоемкость построения.

В прямоугольной диметрической проекции ГОСТ 2. В этом случае диметрические проекции координатных осей располагаются так, как показано на рис. Располагая чертежом геометрического объекта в системе двух или трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций, всегX Рис.

И з точки Аха на рис. При построении диметрии см. Заданный шестиугольник расположен горизонтально, и при выборе положения координатных осей целесообразно за начало координат принять центр его симметрии О. Прежде всего хочу разъяснить, что я понимаю под антропной вселенной.

Почему в ней постоянно дебатируется вопрос о роли, которую играет сознание наблюдателя? Что такое интерпретация квантовой механики и почему существуют различные интерпретации? Мы обсудим эти вопросы, делая акце Кодекс деловой этики далее — Кодекс является документом, регламентирующим этическую сторону взаим В нашем журнале публикуется впервые. Одной из центральных проблем переходного Колышкина Ярославский государственный педагогический университет им. В городе Могилеве при сложившиеся в предыдущие десятилетия тенденции строительства промышленно-жилых районов когда крупное промпредприятие строило вокруг себя ведомственное жилье н ИКОНИЦКАЯ Земельная реформа и право Земельная реформа — важнейшая часть экономической реформы, проводимой в настоящее время в России и имеющей целью формирование социально ориентированной рыночной экономики.

Одно из основных ее направлений — установление частной собстве Как заработать на разнице курса валюты: Три года крестьяне из Астраханской и Воронежской губерний России добирались до нового места жительства по железной дороге, на волах, плыли на паромах. Так в середине шестидесятых годов прошлого столетия на бере Адаптация тренинга повышения эмоциональной устойчивости Глава 1.

М ножество точек плоскости, удаленных от прямой на расстояние R c, есть две прямые, параллельные заданной и отстоящие от нее на расстоянии R c. Для того чтобы определить точки касания сопрягающей окружности и заданных прямых, следует опустить на них перпендикуляры из точки О.

Точки ЛГ, и К2 пересечения этих перпендикуляров с прямыми АВ и CD и есть точки касания окружности с центром в точке О к заданным прямым точки сопряжения.

Если использовать полные множества точек, удаленных от прямых АВ и CD рис. Сопряжение прямой линии с окружностью Если радиус сопряжения Rc прямой линии и окружности радиусом R задан, то при определении параметров сопряжений следует исходить из следующих положений: По положению центра заданной окружности и центра сопрягающей дуги относительно общей касательной различают внешнее и внутреннее сопряжения. Если центр окружности и центр сопряжения лежат по разные стороны от касательной, то такое сопряжение считают внешним, а если эти центры располагаются по одну сторону от касательной, внутренним.

Требуется выполнить внешнее сопряжение радиусом R c. Точка С пересечения прямой, проходящей через точку N, с дугой радиусом R2 является центром сопряжения см. Из точки С опустим перпендикуляр на АВ. Основание К2 перпендикуляра и будет точкой сопряжения окружности с прямой см.

Требуется выполнить внутреннее сопряжение радиусом Rc. Пусть заданы окружность с радиусом Rx рис. В этом случае радиус R2 также определяется как разность радиуса сопряжения и радиуса заданной окружности, однако уменьшаемое и вычитаемое должны быть выбраны так, чтобы эта разность получилась положительной.

Сопряжение двух заданных окружностей При решении задач на сопряжение двух окружностей следует учитывать, что множества точек плоскости, удаленных от этих окружностей на равные расстояния, представляют собой концентрические окружности, радиусы которых равны сумме или разности радиуса заданной окружности и радиуса сопряжения.

Точка пересечения этих окружностей есть центр сопряжения. Точки сопряжения определяются как точки пересечения прямых, соединяющих центры заданных окружностей с центром сопряжения. Требуется выполнить внешнее сопряжение этих окружностей дугой окружности радиусом R c. Из центра Ох проводят дугу окружности радиусом R3, равным сумме радиусов Rx и R c, а из центра 0 2 дугу окружности радиусом Ra, равным сумме радиусов R2 и R c.

Определив основные параметры сопряжения, можно из центра С между точками Кхи К2 провести Рис дугу окружности радиусом R c. Точки Куи К2 сопряжения находятся на продолжении прямых, соединяющих центр сопряжений С с центрами окружностей Охи Если же радиус сопряжения Rc задан рис.

Построение касательных к окружностям Рассмотрим задачу, лежащую в основе решения других задач на проведение касательных к окружностям. Пусть из точки А рис. Для этого точку А следует соединить с точкой О и разделить отрезок АО пополам. Из середины отрезка точки С, как из центра, надо описать окружность, диаметр которой должен быть равен отрезку АО. Правильность решения поставленной задачи подтверждается тем, что радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной к окружности.

При построении касательных к двум окружностям различают касательные внешние и внутренние. Если центры заданных окружностей располагаются по одну сторону от касательной, то ее считают внешней, а если центры окружностей находятся по разные стороны от касательной, то внутренней.

Пусть заданы окружности с центрами в точках О, и 0 2 рис. Требуется провести внешние касательные. Для точного построения следует определить точки касания прямых к заданным окружностям. При этом в каждом случае уменьшения радиуса касательные к меньшим окружностям будут параллельны искомым. Точки Вхи В2 касания прямых к меньшей окружности находятся на перпендикулярах с основанием 02 к вспомогательным касательным 0 2КХи 0 2К2 соответственно. Требуется провести внутренние касательные.

Для определения точек касания прямых к окружностям используем рассуждения, аналогичные приведенным при решении предыдущей задачи. Если уменьшить радиус R2 до нуля, то окруж Теоретической основой для создания чертежа и восприятия содержащейся в нем информации является начертательная геометрия.

Начертательная геометрия один из разделов геометрии, в котором рассматриваются две основные проблемы: Под геометрическим объектом фигурой понимается некоторое множество точек, объединенных между собой определенными условиями. Для того, чтобы отобразить весь геометрический объект все множество , необходимо отобразить каждую из точек его составляющих каждый элемент множества.

Способ, который используют в начертательной геометрии для изображения геометрического множества или его элемента на плоскости, носит название метода проецирования, а результат этого действия называют проекцией множества или его элемента Прямоугольное проецирование на две и три взаимно перпендикулярные плоскости проекций, образование чертежа Одним из приемов отображения является способ прямоугольного проецирования.

Пусть в пространстве имеется некоторая точка А рис. Для получения отображения проекции точки А необходимо провести из нее проецирующий луч перпендикулярно к плоскости щ. Точка А0, в которой проецирующий луч пересекает плоскость проекций, является проекцией точки А на плоскость я0. Однако, если прямую задачу отобразить на плоскости геометрический объект, находящийся в пространстве решить вполне возможно, то решение обратной задачи по заданной проекции точки однозначно определить ее положение в пространстве оказывается невозможным, так как располагая проекцией А0 на плос- Это можно преодолеть, если около точки А 0 указать удаление точки А от плоскости проекций 7Cq.

Такой способ определения точки в пространстве носит название метода проекций с числовыми отметками и широко используется, например, при составлении географических карт для изображения рельефа местности, но он соверш енно неприменим для создания и восприятия чертежа сколько-нибудь сложной машиностроительной детали.

Прямоугольное проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций метод Монжа В трудах, опубликованных Г.

Монжем в г. Линия пересечения плоскостей я, и я2 называется осью проекций х. Ось делит каждую из плоскостей проекций на две полуплоскости. Две взаимно перпендикулярные плоскости делят пространство на четыре четверти.

Пространство, ограниченное передней полуплоскостью ТС и верхней полуплоскостью я2, принимают за I четверть, пространство между верхней полуплоскостью я2 и задней полуплоскостью щ называют II четвертью. Пространство между задней полуплоскостью Я и нижней полуплоскостью я2 III четверть и пространство между нижней полуплоскостью 7С2 и передней полуплоскостью 7t TV четверть. Для получения проекций точки А в системе я 2 осуществляют прямоугольное проецирование на каждую из плоскостей проекций.

Полученные таким образом изображения позволяют, располагая только проекциями точки, определить ее положение в пространстве. Однако пользоваться изображениями геометрического объекта, полученными на двух взаимно перпендикулярных плоскостях, было бы весьма затруднительным, поэтому следующей задачей является переход к такому изображению, где бы обе проекции располагались на одной и той же плоскости.

Для этого отметим несколько закономерностей. Таким образом, фронтальная и горизонтальная проекции точки располагаются на прямых, перпендикулярных к оси проекций х и пересекающих ее в одной н той же точке.

Для получения изображения на плоскости горизонтальную и фронтальную плоскости проекций совмещают. При этом фронтальная плоскость проекций остается неподвижной, а горизонтальную плоскость проекций поворачивают вокруг оси х так, что передняя полуплоскость Я опускается.

Обратим внимание, что задняя полуплоскость? Заметим, что при этом фронтальная и горизонтальная проекции точки располагаются на одной прямой, перпендикулярной к оси х.

Прямая А А " называется линией связи. Прямоугольники, имитирующие плоскости тс и п2, оставлены на рисунке для наглядности. Обратим особое внимание на то, что на чертеже, как правило, сам геометрический объект отсутствует, а имеются лишь отображения этого объекта на плоскостях проекций. Проецирование на три взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Координаты точки Помимо горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций зачастую используется и плоскость проекций, перпендикулярная к плоскостям 7t и я2 профильная плоскость проекций я3 рис.

Три взаимно перпендикулярные плоскости пересекаются по трем прямым осям проекций Ох, Оу и Oz. Плоскости щ, я2 и я3. VIII показана на рисунке. Для простоты изложения мы рассмотрим точку, находящуюся в первом октанте, хотя на практике точка или любой другой геометрический объект может находиться в любом из октантов. Для получения проекций точки А в системе трех плоскостей проекций необходимо осуществить прямоугольное проецирование на плоскости яь я2 и л3.

Плоскость Я] поворачивается вокруг оси Ох так, что передняя полуплоскость опускается, а плоскость я3 поворачивается вокруг оси Oz так, что передняя полуплоскость перемещается вправо. После совмещения плоскостей получаем чертеж, показанный на рис. Вследствие описанных перемещений плоскостей Я] и л3 ось Оу на чертеже повторяется дважды, располагаясь внизу и справа от точки О. Еще раз обратим внимание на то, что на рис.

Тем не менее чертеж вполне позволяет судить о расположении точки А относительно плоскостей проекций. Три взаимно перпендикулярные плоскости, от которых ведется отсчет при определении положения точки, называются координатными плоскостями, а расстояния точки до этих плоскостей прямоугольными координатами.

Здесь и далее мы будем полагать, что координатные плоскости совпадают с плоскостями проекций. Зная координаты точки и учитывая, что этим координатам соответствуют определенные отрезки линий связи на чертеже, всегда можно построить проекции точки см. При этом для построения недостающей горизонтальной или профильной проекции точки можно воспользоваться так называемой постоянной линией чертежа ПЛЧ прямой, проведенной из точки О под углом 45 к оси Оу.

Координатные оси бесконечны, и точка О разделяет положительные и отрицательные значения координат. Положительные значения координат располагаются от точки О в направлении, обозначенном на рисунке х, у и z- Наличие на чертеже осей проекций позволяет определить положение точки или другого геометрического объекта относительно плоскостей проекций. Однако в большинстве случаев а при выполнении чертежей машиностроительных деталей всегда эта информация остается невостребованной.

Для решения инженерных задач вполне достаточно уяснить форму и размеры детали, то есть установить взаимное положение точек, линий и поверхностей, ограничивающих ее.

Поэтому наиболее распространенным является безосный чертеж чертеж без указания осей проекций рис. Если при этом целесообразно использовать постоянную линию чертежа, то ее можно провести в любом месте, сохранив лишь наклон к линиям связей. Дополнительная система плоскостей проекций Для решения некоторых задач заданной системы плоскостей проекций оказывается недостаточно. Например, геометрический объект в существующей системе плоскостей проекций расположен так, что невозможно определить его действительные размеры.

Между тем задача легко бы разрешилась, если этот объект был Она изучает законы построения плоских изображений чертежей пространственных. Методические указания по выполнению расчетно-графических работ по начертательной геометрии 1. В первом семестре выполняется пять расчетно-графических работ РГР , которые сдаются по мере изучения тем курса.

Построение развертки наклонных призматических, цилиндрических и конических поверхностей способом нормального сечения. Угол называется прямым, если он равен 90 0. Угол называется острым, если он меньше 90 0. Угол называется тупым, если он больше 90 0, но меньше 0. Прямой угол Острый угол Тупой. Сумма углов выпуклого п угольника равна п 2 Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными. Сумма смежных углов о. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии 4 курс заданий 1. Трапеция четырехугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются. Методы изображений 27 2. Раздел 1 Основы начертательной геометрии Тема 1. Параллельное проецирование План 1. Построение плоских фигур в параллельной проекции.

Построение пространственных фигур в параллельной проекции. В первом вопросе предлагается. Отношение боковой стороны к диагонали равнобедренной трапеции с основаниями 12 и 20 при условии, что центр описанной окружности лежит на большем основании, равно 1 1; 2 0,5; 3 0,8; 4. Развертки поверхностей Разверткой поверхности называется плоская фигура, полученная в результате совмещения всех точек поверхности с одной плоскостью.

Между поверхностью и ее разверткой устанавливается. Тест Вертикальные углы 1. Если углы не вертикальные, то они не равны. Равные углы являются вертикальными углами, только если они центрально - симметричны. Если углы равны и их объединение имеет. Укажите номера верных утверждений.

Какие из следующих утверждений верны? Министерство общего и специального образования РФ Московский государственный технический университет им. Все прототипы заданий В5 года 2. Прототип задания B5 Найдите площадь треугольника,. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника больше длины другого на 10 см, но меньше длины гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника равна Один из его катетов на 2 больше другого. Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.

Лекция 1 Методы проекций. Комплексный чертеж точки, прямой, плоскости. Основные свойства прямоугольного проецирования. Конспект лекций 4 Лекция 1. Сведения о проекциях 5 1. Теоретические основы проецирования геометрических фигур на плоскость 1. Точки заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, D, E, ; линии строчными буквами латинского.

Метод ортогонального проецирования 2. Вопросы и задания Метод ортогонального проецирования Если информацию о расстоянии точки относительно плоскости. Геометрия 8 класс 1. Свойство В любом равнобедренном треугольнике: Прототипы задания 6 1. Задание 6 Задание 6 Найдите. Окружности Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности Часть плоскости, лежащая.

Яковлев Материалы по математике MathUs. Периметр параллелограмма равен, а одна из его сторон вдвое больше другой. Соответствие является преобразованием фигуры M в фигуру N, если: В треугольнике ABC угол C равен,,.

Патрушева Начертательная геометрия в примерах и задачах Учебное пособие Научный редактор. Прототипы задания В Один острый угол прямоугольного треугольника на больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах. Найти больший из этих углов. Следствия из аксиом 1. Всегда ли верно утверждение?

Любые 3 точки лежат в одной плоскости. Любые 4 точки лежат в одной плоскости. Любые 3 точки не лежат. Сведения о проекциях 1. Метод ключевых задач Задачи, в которых фигурируют середины отрезков Задача. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Найдите диагональ квадрата со стороной a. В прямоугольном треугольнике с углом 60 гипотенуза равна. Вращение вокруг оси, параллельной плоскости проекций 8. Вращение вокруг следа плоскости 8.

Решение метрических задач методами преобразования чертежа. Пересечением двух квадратов может быть: Объединение фигур Объединением двух треугольников может быть:. Найдите меньший угол параллелограмма. Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна.

Начинать показ со страницы:. Иннокентий Шелапутин 1 лет назад Просмотров: Она изучает законы построения плоских изображений чертежей пространственных Подробнее. Методические указания по выполнению расчетно-графических работ по начертательной Методические указания по выполнению расчетно-графических работ по начертательной геометрии 1. В первом семестре выполняется пять расчетно-графических работ РГР , которые сдаются по мере изучения тем курса Подробнее.

Построение развертки наклонных Подробнее. Прямой угол Острый угол Тупой Подробнее. Федеральное агентство по образованию. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о.

Смирнов Открытый банк заданий по геометрии 4 курс заданий В. Две другие стороны называются Подробнее.